Калинин С.И., Панкратова Л.В. Об интегрируемости выпуклой на отрезке функции

Страницы: 36–45

Авторы:

С.И. Калинин,

Вятский государственный университет (г. Киров)

e-mail: kalinin_gu@mail.ru;

Л.В. Панкратова,

Вятский государственный университет (г. Киров)

e-mail: pankratovalarisa19@rambler.ru

Ключевые слова: выпуклая функция, вогнутая функция, определённый интеграл, среднее значение функции, неравенства Эрмита–Адамара, среднее логарифмическое, среднее идентричное.

Аннотация: цель статьи − помочь читателям, интересующимся свойствами выпуклых функций, расширить и углубить свои знания в данной области без обращения к специальной литературе. В ней, в частности, обсуждается вопрос об интегрируемости по Риману выпуклой на отрезке функции, а также приводится обоснование неравенств Эрмита–Адамара. Особое внимание уделяется задачам, в формулировке или решении которых используются оценки интегралов от выпуклых (вогнутых) функций.

ОПИСАНИЕ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ:

On integrability of a convex function on an interval

Authors:

S.I. Kalinin,

Vyatka State University (Kirov)

e-mail: kalinin_gu@mail.ru;

L.V. Pankratova,

Vyatka State University (Kirov)

e-mail: pankratovalarisa19@rambler.ru

Keywords: convex function, concave function, definite integral, mean value of a function, Hermite–Hadamard’s inequalities, logarithmic mean, identric mean.

Abstract: the purpose of the paper is to help readers interested in the properties of convex functions to expand and deepen their knowledge in this field without resorting to specialized literature. It, in particular, discusses the question of Riemann integrability of a convex function on an interval, and also substantiates the Hermite – Hadamard inequalities. Particular attention is paid to problems in the formulation or solution of which estimates of the integrals of convex (concave) functions are used.

Литература

1. Dragomir S.S., Pearce C.E.M. Selected Topics on Hermite–Hadamad Inequalities and Applications. RGMIA monographs, Victoria University, 2002. 361 p.

2. J.L.W.V. JENSEN, Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les voleurs mogernmes, Acta. Math., 30 (1906), 175–193.

3. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974. – 480 с.

4. Виноградов О.Л. Математический анализ: учебник.

5. Калинин С.И., Панкратова Л.В. Неравенства Эрмита–Адамара: образовательно-исторический аспект // Математическое образование. – 2018. – № 3 (87). – С. 17–31.

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие / Б.П. Демидович. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002. – 558[2] c.

7. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Пособие для университетов, пед. вузов: В 2 ч. / Под ред. В.А. Садовничего. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001. – Ч. 1: Дифференциальное и интегральное исчисление. – 725 с.

8. Crux Mathematicorum, Vol. 44(2), February 2018, р. 70, problem 4316: https://cms.math. ca/crux/v44/n2/Problems_44_2.pdf.

9. Crux Mathematicorum, Vol. 45(2), February 2019, р. 96–97: https://cms.math.ca/crux/45/n2/Solutions_45_2.pdf.

10. Недосекина И.С., Троицкая С.Д. О среднем логарифмическом двух величин // Математика в школе. – 2017. – № 5. – С. 58–64.

11. Калинин С.И. Формула Лагранжа и средние величины // Математика в школе. – 2019. – № 2. – С. 29–34.

12. Niculescu C.P, Persson L.E. Old and new on the Hermite-Hadamard inequality // Real Analysis Exchange. – 2004. – Vol. 29 (2). – P. 663–686.

13. Ященко И.В. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания. Базовый и профильный уровни / И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.: Изд-во «Экзамен», 2015. – 687 с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ»)

14. https://mathb-ege.sdamgia.ru/problem?id=507064