Лавренченко С.А., Магомедов А.М., Згонник Л.В. Задачи с параметрами и биномиальные тождества

Страницы: 16–26

Авторы:

С.А. Лавренченко,

к.ф.-м.н., доцент, Институт туризма и гостеприимства (г. Москва)

e-mail: lawrencenko@hotmail.com

А.М. Магомедов,

д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВО «Дагестанский государственный университет», (г. Махачкала)

e-mail: magomedtagir1@yandex.ru

Л.В. Згонник,

д.э.н., профессор, Институт туризма и гостеприимства (г. Москва),

e-mail: mila.zgonnik1@yandex.ru

Ключевые слова: задачи с параметром, биномиальные тождества, вписанная ломаная

Аннотация: В статье описаны трудности и типичные ошибки при решении некоторых задач с параметрами на ЕГЭ по математике, а также возможные пути преодоления этих трудностей и ошибок. Предлагаются эффективные методы – с использованием производных и без них – для решения класса задач с параметрами следующего формата: при каких значениях параметров уравнение имеет единственное решение? Предлагаются новые задачи с параметрами, включая задачи, полученные из известного биномиального тождества. Получены три уравнения, каждое из которых определяет ломаную, вписанную в параболу у = х² таким образом, что все её вершины находятся во всех целочисленных точках, принадлежащих этой параболе, причём эта ломаная оказывается графиком элементарной функции.

ОПИСАНИЕ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ:

Problems with parameters and binomial identities

Authors:

S.A. Lawrencenko,

PhD, Associate Professor, Institute of Tourism and Hospitality (Moscow)

e-mail: lawrencenko@hotmail.com

A.M. Magomedov,

Dr.Sci., Professor,

Dagestan State University (Makhachkala)

e-mail: magomedtagir1@yandex.ru

L.V. Zgonnik,

Dr.Sci., Professor, Institute of Tourism and Hospitality (Moscow),

e-mail: mila.zgonnik1@yandex.ru

Keywords: problems with parameters, binomial identities, inscribed broken line

Abstract: the paper describes difficulties and common mistakes in solving some problems with parameters at the Unified State Exam on Mathematics [in the Russian Federation] as well as possible ways to overcome these difficulties and mistakes. Efficient methods with or without using derivatives are proposed for solving the class of problems with parameters, stated as follows: For what values of parameters does the equation have a unique solution? New problems with parameters are proposed, including ones obtained from a known binomial identity. Three equations are obtained, each of which defines the broken line inscribed in the parabola у = х² through all of its integer points; moreover, that broken line turns out to be the graph of an elementary function.

Литература

1. Бегунц А.В. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005–2015) / А.В. Бегунц, П.А. Бородин, Д.В. Горяшин, А.С. Зеленский, В.С. Панфёров, И.Н. Сергеев, И.А. Шейпак. М.: МЦНМО, 2016. 176 с.

2. Бунимович Е.А., Тюрин Ю.Н., Семенов П.В., Булычев В.А., Макаров А.А., Мордкович А.Г., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. О теории вероятностей и статистике в школьном курсе // Математика в школе. 2009. №7. С. 21–28; 2014, № 7. С. 3–14. URL: https://t.co/k05sjLYLyA (дата обращения: 11.04.2018).

3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. URL: https://t.co/mXGTuReW5R (дата обращения: 11.04.2018).

4. Галатенко В.В., Зеленский А.С., Панферов В.С., Сергеев И.Н., Ушаков В.Г., Чирский В.Г., Шейпак И.А., Юмашев М.В. Олимпиада школьников по математике «Ломоносов – 2012» // Математика в школе. 2013. № 6. С. 25–36.

5. Gross J.L. Combinatorial Methods with Computer Applications. London: Chapman and Hall / CRC, Taylor and Francis Group, 2007. URL: https://t.co/FMOXDtE41m (дата обращения: 11.04.2018).

6. Грэхем Р., Кнут Д., Поташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 1998. 703 с.

7. Дяченко С.И. Линия задач с параметрами в школьном курсе математики // Вестник ТГПИ. 2010. № 1. С. 72–77. URL: https://t.co/LQDStb0DOb (дата обращения: 11.04.2018).

8. ЕГЭ Maximum.ru / Подготовка к ЕГЭ по математике / Сборник задач с параметром для подготовки к ЕГЭ. URL: https://t.co/VE2NOk52Ln (дата обращения: 18.04.2018).

9. Мирошин В.В. Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами в ходе изучения свойств квадратичной функции // Математика в школе. 2008. №7. С. 31–37.

10. Мирошин В.В. Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы ... кандидата педагогических наук: 13.00.02. Место защиты: Москва, 2008. 223 с.

11. Прокофьев А.А., Соколова Т.В. Обоснование применения графических методов решения задач с параметрами // Математика в школе. 2014. №6. С. 21–28; 2014, № 7. С. 30–36. URL: https://t.co/K9VpjEBqXs (дата обращения: 11.04.2017).